MNOŻENIE

Działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.

Na przykład:

$3 \cdot 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

gdzie liczby 3 i 4 są czynnikami, a 12 to ich iloczyn. Powyższe oznacza, że trzy grupy po cztery elementy to razem dwanaście elementów. Z każdej z powyższych równolicznych grup można wybrać kolejno po jednym elemencie i w ten sposób stworzyć cztery nowe grupy zawierające po trzy elementy:

$4 \cdot 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$ .

W ten sposób $3 \cdot 4 = 4 \cdot 3$ , co w przypadku ogólnym nazywa się formalnie przemiennością. Należy mieć jednak na uwadze, że istnieją działania nazywane mnożeniami, które nie mają tej własności (zob. dalej).

Mnożenia liczb naturalnych o czynnikach będących liczbami ze zbioru

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

(cyfry dziesiętnego systemu liczbowego uzupełnione o liczbę 10)

uczy się w pierwszych klasach szkoły podstawowej pod postacią tzw. tabliczki mnożenia. Dowolna liczba pomnożona przez zero daje w wyniku zero, podobnie dowolna liczba pomnożona przez jeden daje w wyniku tę liczbę (tzn. jedynka jest elementem neutralnym mnożenia).

Mnożenie pisemne liczb

Algorytm pisemnego mnożenia najłatwiej wytłumaczyć na przykładzie. Obliczymy iloczyn liczb $105\;$ i $18\;$ . Należy zapisać jedną z liczb pod drugą tak, by cyfry oznaczające odpowiednio jedności, dziesiątki, setki itp. znajdowały się w jednej kolumnie (mniej precyzyjnie: wyrównać cyfry obu liczb do prawej):

$\underline \begin{matrix} & & 1 & 0 & 5 \\ \cdot& & & 1 & 8 \end{matrix}$

Następnie mnoży się poszczególne cyfry i zapisuje jedna pod drugą na odpowiedniej pozycji: jeżeli przyjąć, że pozycje cyfr numerowane są od prawej począwszy od zera, to cyfra dziesiątek i cyfra jednostek iloczynu dwóch cyfr powinny być zapisywane na pozycji będącej sumą pozycji mnożonych cyfr i o jeden mniejszej (jeżeli cyfra dziesiątek jest zerem, to zwykle się jej nie pisze). W ten sposób (mnożąc kolejno od prawej cyfry drugiej liczby przez kolejne cyfry pierwszej liczby):

$\begin{matrix} \underline \begin{matrix} & & 1 & 0 & 5 & \;\;\;\; \\ \cdot & & & 1 & 8 & \;\;\;\; \end{matrix} \\ \underline \begin{matrix} & & & 4 & 0 & \; \scriptstyle{(=8 \cdot 5)} \\ + & & & 0 & & \; \scriptstyle{(=8 \cdot 0)} \\ + & & 8 & & & \; \scriptstyle{(=8 \cdot 1)} \\ + & & & 5 & & \; \scriptstyle{(=1 \cdot 5)} \\ + & & 0 & & & \; \scriptstyle{(=1 \cdot 0)} \\ + & 1 & & & & \; \scriptstyle{(=1 \cdot 1)} \end{matrix} \\ \begin{matrix} & 1 & 8 & 9 & 0 & \;\;\;\;\; \end{matrix} \end{matrix}$

Suma tak zapisanych iloczynów cyfr (przyjmując, że puste miejsca oznaczają zera) daje wynik:

$105 \cdot 18 = 1890\;$

Mnożenie liczb całkowitych przebiega podobnie, z tym iż mnoży się wartości bezwzględne, tzn. liczby bez znaku, i uzupełnia znak iloczynu minusem, jeżeli dokładnie jedna z nich była ujemna.

Jeżeli jeden (lub oba) z czynników jest pewną wielokrotnością liczby 10, tzn. na jej końcu znajduje się pewna liczba zer, to zamiast

$\underline \begin{matrix} & & 1 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ \cdot& & & & 1 & 8 & 0 \end{matrix}$

oblicza się iloczyn $105 \cdot 18$

$\begin{matrix} \underline \begin{matrix} & & 1 & 0 & 5 & \color{MidnightBlue} 0 & \color{MidnightBlue} 0 \;\;\;\; \\ \cdot& & & 1 & 8 & \color{MidnightBlue} 0 & \;\;\;\;\; \end{matrix} \\ \begin{matrix} & 1 & 8 & 9 & 0 & \color{MidnightBlue} 0 & \color{MidnightBlue} 0 & \color{MidnightBlue} 0 \end{matrix} \end{matrix}$

mnożąc przy tym tylko wspomniane czynniki, tzn. bez końcowych zer, mnożąc końcowy wynik przez iloczyn potęg, tzn. dopisując odpowiednią liczbę zer na jego końcu.

Podobnie ma się rzecz z ułamkami w zapisie dziesiętnym, gdyż są one ujemnymi potęgami liczby 10. Należy więc wykonać mnożenie tak, jakby w ich zapisie nie było przecinka, czyli znów zamiast $1,05 \cdot 1,8$ należy obliczyć iloczyn $105 \cdot 18$ po czym umieścić przecinek tak, by znajdował się na pozycji będącej sumą pozycji przecinków w czynnikach (licząc od prawej).

$\begin{matrix} \underline \begin{matrix} & & 1, & \color{MidnightBlue} 0 & \color{MidnightBlue}5 \;\;\; \\ \cdot& & & 1, & \color{MidnightBlue}8 \;\;\; \end{matrix} \\ \begin{matrix} & 1, & \color{MidnightBlue} 8 & \color{MidnightBlue} 9 & \color{MidnightBlue} 0 & \end{matrix} \end{matrix}$

Uwaga: Mnożyć sposobem pisemnym można tylko w systemach pozycyjnych.

Algorytm

Sam algorytm mnożenia pisemnego polega na zapisaniu liczby naturalnej w postaci sumy kolejnych potęg dziesiątki. Niech $m \geqslant n$ i

$a = a_m 10^m + \dots + a_1 10^1 + a_0 10^0$ ,

$b = b_n 10^n + \dots + b_1 10^1 + b_0 10^0$ .

Wówczas

$\begin{align} a \cdot b & = (a_m 10^m + \dots + a_1 10^1 + a_0 10^0) \cdot (b_n 10^n + \dots + b_1 10^1 + b_0 10^0) = \\ & = a_m 10^m b_n 10^n + \dots + a_m 10^m b_1 10^1 + a_m 10^m b_0 10^0 + \dots + a_0 10^0 b_1 10^1 + a_0 10^0 b_0 10^0 = \\ & = a_m b_n 10^{m+n} + \dots + a_m b_1 10^{m+1} + a_{m-1} b_2 10^{m+1} + \dots + a_1 b_0 10^{1 + 0} + a_0 b_1 10^{0 + 1} + a_0 b_0 10^{0 + 0} = \\ & = a_m b_n 10^{m+n} + \dots + (a_m b_1 + a_{m-1} b_2 + \dots + a_{m-n+1} b_n)10^{m+1} + \dots + (a_1 b_0 + a_0 b_1) 10^1 + a_0 b_0 10^0, \end{align}$

przy czym trzecia równość odpowiada mnożeniu poszczególnych cyfr, a ostatnia – końcowemu sumowaniu.

Definicja

W dobrze znanych zbiorach liczbowych mnożenie definiowane jest osobno w każdym z nich za pomocą działania zdefiniowanego w prostszej strukturze:

iloczyn dwóch liczb naturalnych $a, b$ definiuje się jako $b\;$ -krotna sumę $a\;$ :
$a \cdot b = \underbrace{a + a + \dots + a}_b$ .

można zapisać to rekurencyjnie: $a \cdot 1=a,\; a \cdot (n+1) = a \cdot n + a$ ;

iloczyn dwóch liczb całkowitych $a-b\;$ i $c-d\;$ , gdzie $a,b,c,d\in\mathbb{N}$ określony jest wzorem
$(a-b) \cdot (c-d) = a \cdot c + b\cdot d - a\cdot d - b\cdot c\;$ ;
iloczyn dwóch liczb wymiernych $\tfrac{a}{b}$ i $\tfrac{c}{d}$ , gdzie $a,c\in\mathbb{Z}$ , a $b,d\in\mathbb{Z}_+$ określony jest wzorem
$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\;$ ;
iloczyn dwóch liczb rzeczywistych $a\;$ i $b\;$ określa się następująco: jeżeli $a_n\;$ jest ciągiem Cauchy'ego zbieżnym do $a\;$ , a $b_n\;$ jest zbieżnym do $b\;$ , to ciąg $c_n=a_n \cdot b_n\;$ jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do $c=a\cdot b\;$ ;
iloczyn dwóch liczb zespolonych określony jest wzorem

$(a+bi)\cdot (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\;$ .

Oznaczenia

Mnożenie oznacza się na ogół symbolem kropki, np. $2 \cdot 2 = 4\;$ , czasami w miejsce kropki używa się znaku obróconego krzyżyka: $3 \times 4 = 12\;$ , zaś w informatyce, z racji łatwej dostępności na klawiaturze komputera, przyjęło się używanie asterysku: a = b * c.

Jeśli nie prowadzi to do nieporozumień, symbol mnożenia w zapisie matematycznym często pomija się, np. zamiast $a \cdot b\;$ pisze się $ab\;$ .

Tagi:

mnożenie

ANIMOS LABOR NUTRI- PRACA KARMI UMYSŁY